Вісник Львівського університету. Серія фізична 56 (2019) с. 31-42
DOI: https://doi.org/10.30970/vph.56.2019.31

Зв'язок параметрів некомутативної алгебри з масою та принцип еквівалентності у просторі з квадратичною некомутативністю координат

Х. П. Гнатенко, О. І. Григорчак

Розглядається квантований простір, який описується алгеброю з квадратичною некомутативністю координат. Досліджується загальний випадок, коли рух різних частинок у квантованому просторі описується різними параметрами некомутативності. Ми встановили, що ідея залежності параметрів некомутативної алгебри від маси дозволяє отримати ряд важливих результатів у просторі з квадратичною некомутативністю координат. А саме, ми показали, що у випадку, коли параметр некомутативності є прямопропорційним до маси, координати у некомутативному просторі не залежать від маси та можуть розглядатися як кінематичні змінні. Також зв'язок параметра некомутативності з масою є важливим для опису руху системи багатьох частинок у просторі з квадратичною некомутативністю. А саме, ми знайшли, що дужки Пуассона для координат та імпульсів центра мас відповідають співвідношенням некомутативної алгебри з ефективним параметром некомутативності, якщо відношення параметра некомутативності до маси є сталим для різних частинок. Варто зауважити, що ефективний параметр некомутативності визначається повною масою системи та не залежить від її композиції. Також важливо відзначити, що вплив некомутативності на рух центра мас системи частинок зменшується при збільшенні маси системи. Макроскопічні тіла відчувають менший вплив квантованості простору у порівнянні з елементарними частинками. На додаток, у випадку прямопропорційної залежності параметрів некомутативної алгебри від маси рух частинки у гравітаційному полі не залежить від її маси та від її композиції. Отже, відновлюється слабкий принцип еквівалентності у просторі з квадратичною некомутативністю координат. Важливо зауважити, що ідея залежності параметрів алгебри, яка описує квантований простір, від маси дозволяє розв'язати важливі проблеми також у некомутативному фазовому просторі канонінчного типу, у деформованому просторі з мінімальною довжиною.

Текст статті (pdf)

Список посилань
  1. Witten E. Reflection on the fate spacetime / E. Witten // Phys. Today -- 1996. -- Vol. 49, -- P. 24.
  2. Doplicher S. Spacetime quantization induced by classical gravity / S. Doplicher, K. Fredenhagen, J. E. Roberts // Phys. Lett. B -- 1994. -- Vol. 331, \No 1. -- P. 39--44. https://doi.org/10.1016/0370-2693(94)90940-7
  3. Djemai A. E. F. On quantum mechanics on noncommutative quantum phase space / A. E. F. Djemai, H. Smail // Commun. Theor. Phys. -- 2004. -- Vol. 41, \No 6. -- P. 837-844. https://doi.org/10.1088/0253-6102/41/6/837
  4. Bastos C. Probing phase-space noncommutativity through quantum mechanics and thermodynamics of free particles and quantum rotors / C. Bastos, A. E. Bernardini, J. F. G. Santos // Physica A -- 2015. -- Vol. 438 -- P. 340-354. https://doi.org/10.1016/j.physa.2015.07.009
  5. Gnatenko Kh. P. Features of free particles system motion in noncommutative phase space and conservation of the total momentum / Kh. P. Gnatenko, H. P. Laba, V. M. Tkachuk // Mod. Phys. Lett. A -- 2018. -- Vol. 33, \No 23. -- P. 1850131. https://doi.org/10.1142/S0217732318501316
  6. Gamboa J. Noncommutative quantum mechanics / J. Gamboa, M. Loewe, J. C. Rojas // Phys. Rev. D -- 2001. -- Vol. 64, \No 6. -- P. 067901. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.64.067901
  7. Romero J. M. The Kepler problem and noncommutativity / J.M. Romero, J. D. Vergara // Mod. Phys. Lett. A -- 2003. -- Vol. 18, \No 24. -- P. 1673-1680. https://doi.org/10.1142/S0217732303011472
  8. Mirza B. Noncommutative geometry and classical orbits of particles in a central force potential / B. Mirza, M. Dehghani, // Commun. Theor. Phys. -- 2004. -- Vol. 42, \No 2. -- P. 183. https://doi.org/10.1088/0253-6102/42/2/183
  9. Daszkiewicz M. Towards quantum noncommutative -deformed field theory / M. Daszkiewicz, J. Lukierski, M. Woronowicz // Phys. Rev. D -- 2008. -- Vol. 77, \No 10. -- P. 105007. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.77.105007
  10. Daszkiewicz M. \kappa-deformed oscillators, the choice of star product and free \kappa-deformed quantum fields / M. Daszkiewicz, J. Lukierski, M. Woronowicz // J. Phys. A: Math. Theor. -- 2009. -- Vol. 42, \No 35. -- P. 355201. https://doi.org/10.1088/1751-8113/42/35/355201
  11. Borowiec A. Constraints on the quantum gravity scale from \kappa-Minkowski spacetime / A. Borowiec, Kumar S. Gupta, S. Meljanac, A. Pachol // EPL -- 2010. -- Vol. 92, \No 2. -- P. 20006. https://doi.org/10.1209/0295-5075/92/20006
  12. Borowiec A. Twisting and-Poincare / A. Borowiec, J. Lukierski, A. Pachol. // {J. Phys. A: Math. Theor.} -- 2014. -- Vol. 47, \No 40. -- P. 405203. https://doi.org/10.1088/1751-8113/47/40/405203
  13. Borowiec A. \kappa Deformations and Extended \kappa-Minkowski Spacetimes / A. Borowiec, A. Pachol // { SIGMA }-- 2014. -- Vol. 10 -- P. 107. https://doi.org/10.3842/SIGMA.2014.107
  14. Gomes M. Position-dependent noncommutativity in quantum mechanics / M. Gomes, V.G. Kupriyanov // Phys. Rev. D -- 2009. -- Vol. 79, \No 12. -- P. 125011. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.79.125011
  15. Kupriyanov V. G. A hydrogen atom on curved noncommutative space / V. G. Kupriyanov // J. Phys. A: Math. Theor. -- 2013. -- Vol. 46, \No 24. -- P. 245303. https://doi.org/10.1088/1751-8113/46/24/245303
  16. Ho Pei-Ming Noncommutative quantum mechanics from noncommutative quantum field theory/ Pei-Ming Ho, Hsien-Chung Kao // Phys. Rev. Lett. -- 2002. -- Vol. 88, \No 2. -- P. 151602. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.88.151602
  17. Bellucci S. Noncommutative quantum scattering in a central field/ S. Bellucci, A. Yeranyan // Phys. Lett. B -- 2005. -- Vol. 609, \No 3-4. -- P. 418. https://doi.org/10.1016/j.physletb.2005.01.058
  18. Daszkiewicz M. Classical mechanics of many particles defined on canonically deformed nonrelativistic spacetime/ M. Daszkiewicz, C.J. Walczyk // Mod. Phys. Lett. A -- 2011. -- Vol. 26, \No 11. -- P. 819-832. https://doi.org/10.1142/S0217732311035328
  19. Daszkiewicz M. Quantum mechanics of many particles defined on twisted N-enlarged Newton-Hooke space-times/ M. Daszkiewicz // Acta Phys. Polon. B -- 2013. -- Vol. 44, \No 4. -- P. 699-711. https://doi.org/10.5506/APhysPolB.44.699
  20. Gnatenko Kh. P. Weak equivalence principle in noncommutative phase space and the parameters of noncommutativity / Kh. P. Gnatenko, V. M. Tkachuk // Phys. Lett. A -- 2017. -- Vol. 31, \No 31. -- P. 2463–2469. https://doi.org/10.1142/S0217732317501668
  21. Gnatenko Kh. P. Composite system in noncommutative space and the equivalence principle / Kh. P. Gnatenko // Phys. Lett. A -- 2013. -- Vol. 377, \No 43. -- P. 3061-3066. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2013.09.036
  22. Gnatenko Kh. P. Kinematic variables in noncommutative phase space and parameters of noncommutativity / Kh. P. Gnatenko // Mod. Phys. Lett. A -- 2017. -- Vol. 32, \No 31. -- P. 1750166. https://doi.org/10.1142/S0217732317501668
  23. Gnatenko Kh. P. Rotationally invariant noncommutative phase space of canonical type with recovered weak equivalence principle / Kh. P. Gnatenko // EPL -- 2018. -- Vol. 123, \No 5. -- P. 50002. https://doi.org/10.1209/0295-5075/123/50002
  24. Tkachuk V. M. Deformed Heisenberg algebra with minimal length and the equivalence principle / V. M. Tkachuk // Phys. Rev. A -- 2012. -- Vol. 86, \No 6. -- P. 062112. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.86.062112
  25. Tkachuk V. M. Galilean and Lorentz transformations in a space with Generalized Uncertainty Principle / V. M. Tkachuk // Found. Phys. -- 2016. -- Vol. 46, \No 12. -- P. 1666-1679. https://doi.org/10.1007/s10701-016-0036-5
  26. Daszkiewicz M. Newton equation for canonical, Lie-algebraic, and quadratic deformation of classical space / M. Daszkiewicz, C. J. Walczyk// Phys. Rev. D -- 2008. -- Vol. 77, \No 10. -- P. 105008. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.77.105008