Вісник Львівського університету. Серія фізична 61 (2024) с. 15-28
DOI: https://doi.org/10.30970/vph.61.2024.15

Застосування підходу квантово-механічного імпедансу для сукупності дельта-потенціалів в 1D

О. Григорчак

У роботі розглянуто застосування методу квантово-механічного імпедансу для аналітичного вивчення квантово-механічних систем, які містять сукупність дельта-ям та дельта-бар'єрів. Розглянуто як задачу розсіяння, так і задачу пошуку енергетичних рівнів та хвильових функцій зв'язаних станів. Для задачі розсіяння запропоновано алгоритм знаходження аналітичних виразів для коефіцієнтів тунелювання та відбивання на потенціальному бар'єрі, що утворений сукупністю дельта-функцій. Цей підхід дозволяє оцінити, як квантово-механічні частинки будуть поводити себе при проходженні через довільну конфігурацію дельта-бар'єрів, а також з'ясувати, які параметри впливають на ефективність процесу тунелювання чи відбивання. Запропонована аналогічна схема отримання аналітичних виразів для енергетичних рівнів та хвильових функцій зв'язаних станів у випадку квантово-механічної системи, яка містить сукупність дельта-ям. В обох задачах використовуються отримані раніше вирази для функції квантово-механічного імпедансу в області сталого потенціалу \cite{Hryhorchak:2021}, а також знайдені в цій роботі умови зшивання для цієї функції в точках дельта-потенціалів. Для ілюстрації застосування запропонованого підходу у випадку задачі розсіяння вибрано квантово-механічну систему з симетричним двобар'єрним дельта-потенціалом, а у випадку задачі пошуку зв'язаних станів досліджено симетричний двоямний дельта-потенціал. У роботі також показано, як отримати вираз для енергетичного рівня та хвильової функції зв'язаного стану для однієї дельта-ями, безпосередньо виходячи з нелінійного диференціального рівняння для функції квантово-механічного імпедансу. Запропонований у роботі підхід дозволяє детально аналізувати квантово-механічні системи з дельта-подібними потенціалами, що може бути використане, зокрема, для вивчення впливу домішок на властивості нанорозмірник систем, оскільки самі домішки зазвичай можна моделювати як дельта-бар'єри чи дельта-ями.

Текст статті (pdf)

Список посилань
  1. Hryhorchak O. I. Reformulation of a transmission and reflection problems in terms of a quantum wave impedance function / O. I. Hryhorchak // J. Phys. Stud. -- 2021. -- Vol. 25, No. 4. -- P. 4001(9). doi: 10.30970/jps.25.4001.
  2. Demkov Y. N. Zero-Range Potentials and Their Applications in Atomic Physics / Y. N. Demkov, V. N. Ostrovskii. -- New York; London : Plenum Press, 1988. -- 296 p.
  3. Albeverio S. Solvable Models in Quantum Mechanics / S. Albeverio, F. Gesztesy, R. H{\o}egh-Krohn, H. Holden. -- Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005. -- 452 p.
  4. Mendoza-Villa F. Generalized one-dimensional periodic potential wells tending to the dirac delta potential / F. Mendoza-Villa, J. A. Ramos-Guivar, R. M. Espinoza-Bernardo /\!/ Physics. -- 2024. -- Vol. 6, No. 1. -- P. 75--93. doi: 10.3390/physics6010006.
  5. C\'{o}rdoba A. {D}irac combs / A. C\'{o}rdoba /\!/ Lett. in Math. Phys. -- 2011. -- Vol. 17. -- P. 191--196. doi: 10.1007/BF00401584.
  6. Sfiat S. A. The bound band structure in a weak attractive {D}irac comb / S. A. Sfiat /\!/ Adv. Stud. Theor. Phys. -- 2013. -- Vol. 7, No. 13. -- P. 611--619. doi: 10.12988/astp.2013.3434.
  7. Berezin F. A. Schr{\"{o}}dinger equation with singular potential / F. A. Berezin, \mbox{L. D. Faddeev} /\!/ Dokl. Akad. Nauk SSSR. -- 1961. -- Vol. 137, No. 5. -- P. 1011--1014.
  8. Albeverio S. Coupling in the singular limit of thin quantum waveguides / S. Albeverio, C. Cacciapuoti, D. Finco /\!/ Journ. of Math. Phys. -- 2007. -- Vol. 48. -- P. 032103(1)--032103(21). doi: 10.1063/1.2710197.
  9. Cacciapuoti C. Nontrivial edge coupling from a Dirichlet network squeezing: the case of a bent waveguide / C. Cacciapuoti, P. Exner /\!/ J. Phys. A: Math. Theor. -- 2007. -- Vol. 40. -- P. F511--F523. doi: 10.1088/1751-8113/40/26/F02.
  10. Turek O. Threshold resonance and controlled filtering in quantum star graphs / O. Turek, T. Cheon /\!/ EPL. -- 2012. -- Vol. 98. -- P. 50005(p1)--50005(p5). doi: 10.1209/0295-5075/98/50005.
  11. Turek O. Quantum graph as a quantum spectral filter / O. Turek, T. Cheon /\!/ J. Math. Phys. -- 2013. -- Vol. 54. -- P. 032104(1)--032104(18). doi: 10.1063/1.4795404.
  12. Zolotaryuk A. V. A zero-thickness limit of multilayer structures: a resonant-tunnelling \delta' -potential / A. V. Zolotaryuk, Ya. Zolotaryuk /\!/ J. Phys. A: Math. Theor. -- 2015. -- Vol. 48. -- P. 035302(1)--035302(14).
  13. Zolotaryuk A. V. Single-point potentials with total resonant tunneling / A. V. Zolotaryuk /\!/ Phys. Rev. A. -- 2013. -- Vol. 87. -- P. 052121(1)--052121(9). doi: 10.1103/PhysRevA.87.052121.
  14. Ferrari F. Directed polymers with constrained winding angle / F. Ferrari, V. G. Rostiashvili, T. A. Vakhtang /\!/ Phys. Rev. E. -- 2005. -- Vol. 71, No. 6. -- P. 061802(1)--061802(19). doi: 10.1103/PhysRevE.71.061802.
  15. Zurita-S\'{a}nchez J. R. Density of states for a dielectric superlattice. {II}. {TM} polarization / J.R. Zurita-S\'{a}nchez, P. Halevi /\!/ Phys. Rev. E. -- 2000. -- Vol. 61, No. 5. -- P. 5802--5807. doi: 10.1103/PhysRevE.61.5802.
  16. Lin M.-C. Quantitative analysis of photon density of states for a realistic superlattice with omnidirectional light propagation / M.-C. Lin, R.-F. Jao /\!/ Phys. Rev. E. -- 2006. -- Vol. 74, No. 4. -- P. 046613(1)--046613(9). doi: 10.1103/PhysRevE.74.046613.
  17. Uncu H. Bose-Einstein condensate in a harmonic trap decorated with Dirac \ensuremath{\delta} functions / H. Uncu, D. Tarhan, E. Demiralp, {\"{O}}. E. M{\"{u}}stecaplio{\u{g}}lu /\!/ Phys. Rev. A. -- 2007. -- Vol. 76, No. 1. -- P. 013618(1)--013618(7). doi: 10.1103/PhysRevA.76.013618.
  18. D{\'{\i}}az J. I. The supersymmetric modified P{\"{o}}schl-Teller and delta well potentials / J. I. D{\'{\i}}az, J. Negro, L. M. Nieto, O. Rosas-Ortiz /\!/ J. Phys. A: Math. and Gen. -- 1999. -- Vol. 32, No. 48. -- P. 8447--8460. doi: 10.1088/0305-4470/32/48/308.
  19. Cheon T. Wave function shredding by sparse quantum barriers / T. Cheon, P. Exner, P. {\v {S}}eba /\!/ Phys. Lett. A. -- 2000. -- Vol. 277, No. 1. -- P. 1--6. doi: 10.1016/S0375-9601(00)00690-3.
  20. Ko{\'{s}}cik P. On the exponential decay of strongly interacting cold atoms from a double-well potential / P. Ko{\'{s}}cik /\!/ Few Body Syst. -- 2023. -- Vol. 64, No. 11. -- P. 1-5. doi: 10.1007/s00601-023-01792-2.
  21. Kostenko A. 1--D Schr\"odinger operators with local point interactions: a review / A. Kostenko, M. Malamud /\!/ Spectral Analysis, Differential Equations and Mathematical Physics: A Festschrift in Honor of Fritz Gesztesy's 60th Birthday -- Proc. of Symp. in Pure Mathematics. {V}ol. 87 / edited by H. Holden, B. Simon, and G. Teschl. -- Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2013. -- P. 235. https://bookstore.ams.org/pspum-87.
  22. Cacciapuoti C. The semi-classical limit with a delta potential / C. Cacciapuoti, D. Fermi, A. Posilicano /\!/ Rev. Math. Phys. -- 2022. -- Vol. 34, No. 6. -- P. 2250015. doi: 10.1007/s10231-020-01002-4.
  23. Paramanik S. General uncertainty principle and delta-function potential / S. Paramanik, A. Nag, S. Sahoo /\!/ Ukr. J. Phys. -- 2022. -- Vol. 67, No. 8. -- P. 568-573. doi: 10.15407/ujpe67.8.568.
  24. Nelin E. A. Criteria of impedance inhomogeneties approaching by delta-inhomogeneties / E. A. Nelin, A. V. Liashok /\!/ Visn. NTUU KPI Ser. -- Radiotekh. Radioaparatobud. -- 2015. -- Vol. 63. -- P. 127--135. doi: 10.20535/RADAP.2015.63.127-135.
  25. Gindikina M. A. Zone diagram formation of photon and phonon crystals / \mbox{M. A. Gindikina}, Y. L. Zinger, E. A. Nelin /\!/ Visn. NTUU KPI Ser. -- Radiotekh. Radioaparatobud. -- 2015. -- Vol. 63. -- P. 119--126. doi: 10.20535/RADAP.2015.63.119-126.
  26. Nelin E. A. The delta-models of reactive elements and low-pass filters / E. A. Nelin, A. V. Shulha, Ya. L. Zinher /\!/ Visn. NTUU KPI Ser. -- Radiotekh. Radioaparatobud. -- 2017. -- Vol. 69. -- P. 72--77. doi: 10.20535/RADAP.2017.69.72-77.
  27. Nelin E. A. Criteria of crystal-like structures approaching by impedance delta-inhomogeneities lattices / E. A. Nelin, A. V. Liashok /\!/ Visn. NTUU KPI Ser. -- Radiotekh. Radioaparatobud. -- 2016. -- Vol. 67. -- P. 58--64. doi: 10.20535/RADAP.2016.67.58-64.
  28. Nelin E. A. Delta models of oscillatory structures and passband filters / E. A. Nelin, A. V. Shulha, Ya. L. Zinher /\!/ Visn. NTUU KPI Ser. -- Radiotekh. Radioaparatobud. -- 2018. -- Vol. 73. -- P. 63--68. doi: 10.20535/RADAP.2018.73.63-68.
  29. Vodolazka M. V. Resonance filtration by two-phase resonators / M. V. Vodolazka, A. P. Tolstenkova, Nelin E. A. /\!/ Visn. NTUU KPI Ser. -- Radiotekh. Radio-aparatobud. -- 2014. -- Vol. 57. -- P. 113--120. doi: 10.20535/RADAP.2014.57.113-120.