Вісник Львівського університету. Серія фізична 62 (2025) с. 67-74
DOI: https://doi.org/10.30970/vph.62.2025.67

Квантові обчислення швидкості еволюції квантових станів системи двох спінів з XY взаємодією

М. Качмар, Х. Гнатенко

Ми досліджуємо швидкість еволюції двоспінової системи з взаємодією типу XY. Геометричні підходи активно застосовуються для розв'язання задач квантової механіки. Наприклад, геометричні методи використовують для обчислень міри заплутаності квантових станів (геометрична міра заплутаності, відстань заплутаності), а також для розв'язання задач квантової інформації. Швидкість еволюції визначається як похідна по часу від відстані між квантовими станами і пов’язана з дисперсією енергії системи. У роботі знайдено загальний вираз для швидкості еволюції квантових станів спінової системи з XY взаємодією. Розглянуто систему двох спінів з гамільтоніаном \(H=J^x\sigma^x_0\sigma^x_1+J^y\sigma^y_0\sigma^y_1\). Як початковий стан вибрано довільний незаплутаний стан двох спінів. Знайдено залежність швидкості еволюції від параметрів початкового стану та констант зв’язку \(J^x\), \(J^y\). Побудовано квантовий протокол для знаходження середнього значення квадратичних флуктуацій енергії \(\langle \Delta H^2 \rangle\) спінової системи з XY моделлю. Знайдено залежність швидкості еволюції від параметрів початкових станів за допомогою квантових обчислень на Aer simulator. Результати квантових обчислень добре узгоджуються з теоретичними розрахунками. Також розглянуто альтернативний підхід до обчислення швидкості еволюції. А саме, досліджено часову залежність квадрата модуля середнього значення оператора еволюції \(|U|^2\) для малих значень часу. Побудувавши криву апроксимації, знайдено середнє значення квадратичних флуктуацій енергії \(\langle \Delta H^2 \rangle\) та відповідно швидкість еволюції. Отримано добру узгодженість результатів квантових обчислень із аналітичними розрахунками. Зокрема, для початкового стану \(\ket{++}\) та констант зв'язку \(J^x = J^y = J\) знайдено числове значення швидкості \(0.98 \gamma |J|/\hbar\). Відповідно до теоретичних обчислень \(\upsilon = \gamma |J|/\hbar\).

Текст статті (pdf)

Список посилань
  1. Shimony A. Degree of Entanglementa / A. Shimony // Ann. N.Y. Acad. Sci. -- 1995. -- Vol. 755, No. 1. -- P. 675-679. doi: 10.1111/j.1749-6632.1995.tb39008.x.
  2. Brody D. C. Geometric quantum mechanics / D. C. Brody, L. P. Hughston // J. Geom. Phys. -- 2001. -- Vol. 38, No. 1. -- P. 19-53. doi: 10.48550/arXiv.quant-ph/9906086.
  3. Frydryszak A. M. Quantifying geometric measure of entanglement by mean value of spin and spin correlations with application to physical systems / A. M. Frydryszak, M I. Samar, V. M. Tkachuk // Eur. Phys. J. D -- 2017. -- Vol. 71, No. 233. -- P. 1-8. doi: 10.1140/epjd/e2017-70752-3.
  4. Anandan J. Geometry of quantum evolution/ J. Anandan, Y. Aharonov // Phys. Rev. Lett. -- 1990. -- Vol. 65, No. 14. -- P. 1697-1700. doi: 10.1103/PhysRevLett.65.1697.
  5. Grigorenko A. N. Geometry of projective Hilbert space / A. N. Grigorenko // Phys. Rev. A -- 1992. -- Vol. 46, No. 11. -- P. 7292-7294. doi: 10.1103/PhysRevA.46.7292.
  6. Frydryszak A. M. Quantum brachistochrone problem for a spin-1 system in a magnetic field / A. M. Frydryszak, V. M. Tkachuk // Phys. Rev. A -- 2008. -- Vol. 77, No. 1. -- P. 014103-1-014103-4. doi: 10.1103/PhysRevA.77.014103.
  7. Tkachuk V. M. Fundamental problems of quantum mechanics / V. M. Tkachuk. -- Lviv: Ivan Franko National University of Lviv, 2011. -- 144 p.
  8. Gnatenko Kh. P. Geometric properties of evolutionary graph states and their detection on a quantum computer / Kh. P. Gnatenko, H. P. Laba, V. M. Tkachuk // Phys. Lett. A. -- 2022. -- Vol. 452. -- P. 128434-1-128434-6. doi: 10.1016/j.physleta.2022.128434.
  9. Gnatenko Kh. P. Relation of curvature and torsion of weighted graph states with graph properties and its studies on a quantum computer / Kh. P. Gnatenko // Eur. Phys. J. Plus. -- 2024. -- Vol. 140, No. 3. -- P. 1-7. doi: 10.1140/epjp/s13360-025-06172-9.
  10. Cafaro C. Curvature of quantum evolutions for qubits in time-dependent magnetic fields / C. Cafaro, L. Rossetti, P. M. Alsing // Phys. Rev. A -- 2025. -- Vol. 111, No. 1. -- P. 012408-1-012408-12. doi: 10.1103/PhysRevA.111.012408.
  11. Pires D. P. Experimental investigation of geometric quantum speed limits in an open quantum system / D. P. Pires, E. R. deAzevedo, D. O. Soares-Pinto, F. Brito, J. G. Filgueiras // Commun. Phys.-- 2024. -- Vol. 7, No. 1. -- P. 142. doi: 10.48550/arXiv.2307.06558.
  12. IBM Quantum Documentation. https://docs.quantum.ibm.com/api/qiskit/0.37/qiskit.providers.aer.AerSimulator.